План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум icon

План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум



НазваниеПлан Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум
Дата конвертации12.05.2013
Размер64.18 Kb.
ТипДокументы



Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.

План

  • Умовний екстремум

  • Необхідні умови

  • Метод множників Лагранжа

  • Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів

1. Умовний екстремум

            У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції



за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку

.

            У даній задачі екстремуми функції знаходять не на всій площині, а лише на прямій .

            Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції

                                                                        (6.89)

при

                                                                        (6.90)

            За наявності умови (6.90) із двох змінних  і  незалежною буде лише одна, наприклад , оскільки визначається із рівності (6.90) як функція . Якщо із (6.90) знайти явну залежність  від   і підставити її в (6.89), то одержимо функцію однієї змінної , яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум – методі невизначених множників Лагранжа.

У точках екстремуму похідна  має дорівнювати нулю. Враховуючи, що  є функція від , знаходимо         .

Отже, в точках екстремуму

                                   .                             (6.91)

Із рівності (6.90) маємо

                                                               (6.92)

            Домножимо рівність (6.92) на невизначений множник  і додамо її з рівністю (6.91), одержимо

.

або

                                      (6.93)

             (6.93) перетворювалася на нуль: Рівність (6.93) виконується в усіх точках екстремуму. Доберемо множник  так, щоб в точках екстремуму функції  друга дужка у рівності

.

            Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:

                                                            (6.94)

з трьома невідомими . Із системи (6.94) визначаємо  і , що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.

            Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції

,

яка називається функцією Лагранжа. Система (6.94) співпадає з умовами безумовного екстремуму функції .

Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.

            Зауваження. Описаний метод поширюється  на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.

            Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції  змінних



за умови, що змінні зв’язані  рівняннями:

                        (6.95)

Складемо функцію Лагранжа

і прирівняємо до нуля її частинні похідні по :

                                     (6.96)

            Із  рівнянь (6.95) і (6.96) знаходимо координати критичних точок і допоміжних невідомих . Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного екстремуму.

            Приклад.        За яких розмірів прямокутний паралелепіпед має найбільший об’єм, якщо його повна поверхня має площу ?

            Р о з в ’ я з о к. Нехай довжина сторін паралелепіпеда дорівнюють  і . Його об’єм , а площа поверхні . Потрібно знайти найбільше значення функції  за умови .

            Складаємо функцію Лагранжа



і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:

,   ,

, .

            Звідси знаходимо . Точка  є критичною точкою функції . Оскільки поставлена задача має певний розв’язок, а критична точка лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.

            Шуканий паралелепіпед – куб із стороною .

^ 2. Знаходження функції на основі експериментальних даних

за методом найменших квадратів

            У різних областях людської діяльності широке розповсюдження  мають формули, одержані на основі обробки спостережень або експериментів. Такі формули називаються емпіричними.

            Нехай на основі експерименту потрібно встановити функціональну залежність величини  від величини : .

            В результаті одержано  значень функції при відповідних значеннях аргументів і результати записані так:



            Вид функції  встановлюється або із теоретичних міркувань, або на основі аналізу графіка функції . Для цього слід побудувати в прямокутній декартовій системі координат точки, відповідні експериментальним значенням. Ці точки в дальшому будемо називати експериментальними. Якщо експериментальні точки розміщені на координатній площині так, як зображено на рис. 6.15, то доречно будувати залежність від  у вигляді лінійної функції . Якщо експериментальні точки розміщені так, як показано на рис. 6.16, то функцію будемо шукати у вигляді .

            При вибраному вигляді функції  залишається добрати параметри  так, щоб вони якнайкраще і описували



                      Рис.6.13                                 Рис.6.14

розглядуваний процес. Найпоширенішим методом розв’язання даної задачі є метод розв’язання даної задачі є метод найменших квадратів.

Нехай експериментальні точки групуються навколо прямої  (див. рис. 6.13). Тоді

                                                                         (6.97)

де  і - параметри, які потрібно знайти.

Розглянемо експериментальну точку  і точку з такою самою абсцисою, але яка лежить на прямій. Її координати . Різницю ординат цих точок

                 ,                            (6.98)

що являє собою відхилення точки від прямої , назвемо похибкою.

            Доберемо параметри  і так, щоб сума квадратів похибок

                                              (6.99)

була найменшою.

Підставимо в (6.99) вирази помилок (6.98), одержимо

                   (6.100)

Тут  і  відомі величини, а  і  - невідомі, які потрібно знайти. Для того щоб функція  мала найменше значення, необхідно

виконати умови:



або



            Перегрупувавши члени, подамо цю систему у вигляді



або

                                           (6.101)

Ця система рівнянь називається нормальною системою методу найменших квадратів. Розв’язавши її, знаходимо  і  і підставляємо в емпіричну формулу .

            Нехай тепер експериментальні точки розміщені поблизу деякої параболи (див. рис. 6.14). Тоді

                                                              (6.102)

            Для знаходження  і  використаємо метод найменших квадратів. Відхилення за ординатою експериментальних точок від відповідних точок параболи

                 ,                                 (6.103)

            Доберемо параметри  і так, щоб сума квадратів похибок (6.104)

була найменшою. Для цього необхідно виконання умов



Обчисливши частинні похідні, маємо систему рівнянь



            Перегрупувавши доданки в кожному із рівнянь, одержимо нормальну систему рівнянь методу найменших квадратів для параболічної залежності:

                            (6.105)

            Із цієї системи знаходимо  і  і підставляємо їх в емпіричну формулу .




Похожие:

План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconВсеукраїнський студентський архів Знайдемо екстремум функції f (X) = 4 • (Х
Знайдемо екстремум функції f (X) = 4 • (Х 1 до 5) 2 +2 • (Х 2 -7) 2, використовуючи функцію Лагранжа
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconОпуклість та гнучкість функції. Екстремуми функції. Необхідна та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів”

План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconЛабораторна робота №9 “Непрямий метод найменших квадратів „ Мета роботи
Мета роботи : Набуття практичних навичок оцінювання параметрів симультативних моделей непрямим методом найменших квадратів і використання...
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconS= (37. 2) яка є функцією m + 1 змінних коефіцієнтів. Якщо ці коефіцієнти вибрати так. Щоб функцію s була мінімальною, то тим самим задача буде розв’язана величина називається відхилом
Опуклість та вгнутість функцій. Екстремуми функцій. Необхідні та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconФункції багатьох змінних
Дослідження на екстремум. Дослідження на найменше і найбільше значення в закритій області
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconПобудова на основі натурних спостережень емпіричних формул лінійних залежностей методом найменших квадратів”
И в розвитку сучасної біології та екології. Сьогодні біологи, а особливо екологи, потребують серйозної математичної підготовки, яка...
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconОцінки за методом найменших квадратів
Нехай знову спостерігається значення випадкової величини вигляду (1). Введемо критерій якості оцінювання у вигляді
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconN лабораторна робота №5 “ Гетероскедастичність”
Мета роботи: Набуття практичних навичок тестування наявності гетероскедастичності і оцінювання параметрів економетричної моделі узагальненим...
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconЛабораторна робота №6 "Гетероскедастичність"
Мета роботи: Набуття практичних навичок тестування наявності гетероскедастичності і оцінювання параметрів економетричної моделі узагальненим...
План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум iconПлан Основні правила диференціювання. Похідні від елементарних функцій. Похідна від степеневої функції. Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©zazdoc.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы