Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня icon

Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня



НазваниеПоняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня
Дата конвертации12.05.2013
Размер50.18 Kb.
ТипДокументы



Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня


На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x1,…,xn.

Означення. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f(x1,…,xn).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2x1+3x2-x3+7x4.

3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=abc. Об’єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K0; L0}.

5. Область визначення функції визначається з нерівності 100-x2-y20, тобто x2+y2102. Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.

Функція від двох змінних (аргументів) f(x,y) представляє собою деяку поверхню в трьохвимірному просторі. Зокрема, графіком функції є верхня половина сфери (рис. 6.1).

z







6 8 10 y


x

Рис. 6.1.

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

1. Побудуємо лінії однакового рівня функції . При C=0 маємо тобто x2+y2=102 (коло з радіусом r=10, рис.6.2).

При C=6 отримуємо тобто x2+y2=82 . Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є коло з радіусом r = 8.

При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x2+y2=62.

y










6 8 10 x

Рис. 6.2.

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x1 та x2. Виробнича функція має вигляд Q=10x1+20x2 (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q(x1,x2) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти ).

Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) – це відрізок прямої 10x1+20x2=60, а при C=40 – відрізок прямої 10x1+20x2=40 (рис. 6.3).



(Ресурс x1)

4 Q=60

3

2 Q=40

1

1 2 3 4 5 6 (Ресурс x2)

Рис. 6.3.

3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10x1,20x2} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

Тоді в точках (x1=2, x2=1), (x1=4, x2=1), (x1=2, x2=3) значення Q=40. У точках (x1=4; x2=2) та (x1=4; x2=4) випуск набуває значення Q=80. На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.

(Ресурс x1)

5

4

3

2 Q=80

1 Q=40



1 2 3 4 5 (Ресурс x2)


Рис. 6.4.


Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q(x1,x2) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.

4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу K та кількості затраченої праці L, задається формулою Q=K0.6L0.4 (часткова взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).

На рис. 6.5 зображено лінії однакового значення Q (тобто, графіки неявних функцій K0.6L0.4=10 та K0.6L0.4=20):


K


Q=20

Q=10

L

Рис. 6.5.

У тривимірному просторі функція Q=K0.6L0.4 є поверхнею, що зображена на рис. 6.6.

Q




K

L

Рис. 6.6.

5. Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа вигляду Q=KL1- (0<<1) і побудуємо лінії однакового рівня для різних значень параметрів  та C.

При =0,5 та C=2 маємо 2 = K0.5L0.5 , звідки K= 2L-1.

При =0,3 та C=1 отримуємо 1 = K0.3L0.7 , звідки K= 2L-7/3.

На рис. 6.7 зображені лінії однакового рівня за даних значень  та C.

K




=0,5 ; C=2


=0,3 ; C=1

L

Рис. 6.7.


6. Нехай виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд Q=KL (0<,<1). На рис. 6.8,а та 6.8,б показані тривимірні зображення цієї функції (та лінії однакового рівня) для випадків +<1 та +>1, відповідно.

+<1 +>1

Q Q







K K




L L

а б

Рис. 6.8.




Похожие:

Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconПравила задання змінних Типи даних Функції визначення І завдання типу змінних. Логічні змінні І їх особливості в рнр
Практично у всіх мовах програмування є таке поняття, як змінна. Чому я спожив вираз «Практично у всіх»? Існують І такі мови, в яких...
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconФункції багатьох змінних
Дослідження на екстремум. Дослідження на найменше і найбільше значення в закритій області
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconПлан Основні правила диференціювання. Похідні від елементарних функцій. Похідна від степеневої функції. Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні...
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconМетод виділення лінійних множників
Метод використовується, коли елементи визначника можна вважати многочленами від одної або кількох змінних. В цьому випадку І самий...
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconФункції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали
Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного...
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconРізницеві інтерполяційні формули
Узагальненням поняття похідної є поняття розділеної різниці (PP). Нехай у вузлах відомі значення функції. Припустимо також, що при....
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconЕкономічних наук, та українознавства Реферат з дисципліни: “Соціологія та медична соціологія” Тема : «Міжнаціональні шлюби»
Будучи залежним від економічного становища країни, від політики, рівня культури, сімейне життя впливає на стан національної економіки,...
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconПлан Основні теореми диференціального числення Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коші Правило Лопіталя Формула Тейлора для многочлена Формула Тейлора для довільної функції Формула Тейлора для функції двох змінних 12.
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconПлан Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів Умовний екстремум
Ся безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам...
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня iconЧи правильно зроблено визначення даного поняття? Якщо ні, то вкажіть логічну помилку і яке правило дефініцій порушено?
Визначення (definitio – від лат.) – це логічна операція, яка дає змогу розкрити зміст поняття, відрізнити одне поняття від іншого,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©zazdoc.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы